If
A.
B.
C.
D.
E.
respuesta: show
The operation x@n - PS (600-700)
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GMAT_ClubMBA
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The operation x@n - PS (600-700)
The operation x@n for all positive integers greater than 1 is defined in the following manner: 
x@n = x^{x@(n-1)}[/m]
Ifx@1 = x[/m], which of the following expressions has the greatest value?
A.(3@2)@2[/m]
B.3@(1@3)[/m]
C.(2@3)@2[/m]
D.2@(2@3)[/m]
E.(2@2)@3[/m]
If
A.
B.
C.
D.
E.
Re: The operation x@n - PS (600-700)
Una pregunta muy curiosa.
La operación no cumple la propiedad conmutativa, lo que no nos permite buscar simplificaciones rápidas diciendo (2@3)=(3@2)
Para mi la clave ha estado en usar una base simple a la hora de comparar (2 ó 3) y extraer la dinámica de la función para poder comparar ágilmente, es decir, una operación del tipo x@2 implica x elevado a sí mismo "una única vez"; x@3 implica x elevado 2 veces, de forma escalonada. Por ello, a igual base, cuanto mayor sea la segunda cifra, mayor es el resultado, dado que la base es mayor que 1.
(3@2)@2;
(3@2)=3^(3@1)=27=3^3.
27@2=3^81
1@3=1^1@2=1
3@1=3
2@3=2^(2@2)=2^4
(2@2)=2^(2@1)=4=2^2
(2@3)@2=2^64
2@(2@3)=2@(2^4)=2@16, es decir, 2^2^2^2...^2 hasta 15 veces!!!
(2@2)=4
(2@2)@3=2^512
Como las potencias tienen un crecimiento más rápido que los productos, D es mayor que E, que es el mayor de los otras cuatro opciones.
Por lo tanto, la respuesta es D.
La operación no cumple la propiedad conmutativa, lo que no nos permite buscar simplificaciones rápidas diciendo (2@3)=(3@2)
Para mi la clave ha estado en usar una base simple a la hora de comparar (2 ó 3) y extraer la dinámica de la función para poder comparar ágilmente, es decir, una operación del tipo x@2 implica x elevado a sí mismo "una única vez"; x@3 implica x elevado 2 veces, de forma escalonada. Por ello, a igual base, cuanto mayor sea la segunda cifra, mayor es el resultado, dado que la base es mayor que 1.
(3@2)@2;
(3@2)=3^(3@1)=27=3^3.
27@2=3^81
1@3=1^1@2=1
3@1=3
2@3=2^(2@2)=2^4
(2@2)=2^(2@1)=4=2^2
(2@3)@2=2^64
2@(2@3)=2@(2^4)=2@16, es decir, 2^2^2^2...^2 hasta 15 veces!!!
(2@2)=4
(2@2)@3=2^512
Como las potencias tienen un crecimiento más rápido que los productos, D es mayor que E, que es el mayor de los otras cuatro opciones.
Por lo tanto, la respuesta es D.
Re: The operation x@n - PS (600-700)
Creo que la pregunta es más sencilla de lo que parece y como sucede habitualmente, nos están intentando liar:
El enunciado dice que x@n = x^x@(n-1) y da el dato x@1=x.
Por tanto aplicando lo anterior:
x@1 = x^x@(1-1) = x^x@0
Es decir que x^x@0 = x.
O lo que es lo mismo, x^x@0 = x^1 de lo que se obtiene x@0 = x
Moraleja, si no me equivoco, @ es lo mismo que ^. (x^0=1).
Se sustituyen los @ por los sombreritos ^ en cada una de las opciones:
a) (3^2)^2=81
b) 3^(1^3)=3
c) (2^3)^2 = 64
d) 2^(2^3) = 2^8 = 256
e) (2^2)^3= 64
La respuesta es D.
El enunciado dice que x@n = x^x@(n-1) y da el dato x@1=x.
Por tanto aplicando lo anterior:
x@1 = x^x@(1-1) = x^x@0
Es decir que x^x@0 = x.
O lo que es lo mismo, x^x@0 = x^1 de lo que se obtiene x@0 = x
Moraleja, si no me equivoco, @ es lo mismo que ^. (x^0=1).
Se sustituyen los @ por los sombreritos ^ en cada una de las opciones:
a) (3^2)^2=81
b) 3^(1^3)=3
c) (2^3)^2 = 64
d) 2^(2^3) = 2^8 = 256
e) (2^2)^3= 64
La respuesta es D.
"La lucha sigue"
Miguel Anxo Bastos
Miguel Anxo Bastos
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Re: The operation x@n - PS (600-700)
Hola gorthor,
La operación solo está definida para enteros positivos, es decir no podemos calcular x@0, no tiene sentido, es como intentar sumarle 2 a una matriz.
De todas maneras, no porque dos operaciones coincidan en dos elementos, ya van a ser iguales. Dos operaciones, llamemoslas @ y & son iguales cuando están definidas en el mismo conjunto de elementos, y si para cualquiera 2 elementos a,b de ese conjunto, se cumple que a@b = a&b.
Normalmente no puedes comprobar esta igualdad para todos los elementos del conjunto (puede haber infinitos, por ejemplo los enteros) y compruebas que las operaciones cumplan las mismas propiedades, por ejemplo si en los enteros definimos la suma como es habitual, las propiedades serían: asociativa (a + b) + c = a + (b + c), conmutativa a + b = b + a, existencia de elemento neutro a + 0 = a y existencia de elemento inverso a + (-a) = 0. Así, el producto tiene sus propiedades, etc.
Según tu razonamiento, como 0*1 = 0^1 o 1*1 = 1^1, entonces el producto y la potencia son iguales, y como 1^0 = 1 + 0, la potencia y la suma también son iguales.
Un saludo
La operación solo está definida para enteros positivos, es decir no podemos calcular x@0, no tiene sentido, es como intentar sumarle 2 a una matriz.
De todas maneras, no porque dos operaciones coincidan en dos elementos, ya van a ser iguales. Dos operaciones, llamemoslas @ y & son iguales cuando están definidas en el mismo conjunto de elementos, y si para cualquiera 2 elementos a,b de ese conjunto, se cumple que a@b = a&b.
Normalmente no puedes comprobar esta igualdad para todos los elementos del conjunto (puede haber infinitos, por ejemplo los enteros) y compruebas que las operaciones cumplan las mismas propiedades, por ejemplo si en los enteros definimos la suma como es habitual, las propiedades serían: asociativa (a + b) + c = a + (b + c), conmutativa a + b = b + a, existencia de elemento neutro a + 0 = a y existencia de elemento inverso a + (-a) = 0. Así, el producto tiene sus propiedades, etc.
Según tu razonamiento, como 0*1 = 0^1 o 1*1 = 1^1, entonces el producto y la potencia son iguales, y como 1^0 = 1 + 0, la potencia y la suma también son iguales.
Un saludo
