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Refutando a Nash: el dilema del Joker

Refutando a Nash: el dilema del Joker
mayo 26
18:27 2015

El pasado domingo falleció el matemático y Premio Nobel de Economía John Forbes Nash en un accidente de tráfico. Se desplazaba junto a su esposa Alice en un taxi cuyo conductor perdió el control. La pareja viajaba, según fuentes policiales, sin cinturón de seguridad y ambos fallecieron.

John Nash, considerado uno de los más grandes matemáticos del siglo XX, fue mundialmente conocido en 2001 gracias a la película “Una mente maravillosa”, protagonizada por Russell Crowe en el papel de Nash.

Gracias a su tesis doctoral, publicada en 1950, recibió el Premio Nobel de Economía (no existe Premio Nobel de Matemáticas) en 1994 por sus aportaciones a la teoría de juegos, en concreto a los juegos que combinan conflicto y cooperación. Nash introdujo el concepto de juego no cooperativo y desarrolló métodos para el análisis matemático de este tipo de juegos. La tesis recoge su aportación más importante, “El equilibrio de Nash”, para muchos una de las 10 ideas económicas más brillantes del pasado siglo, y sobre la que versa este artículo.

La teoría de juegos como juego de estrategia

Introduzcamos en primer lugar la teoría de juegos: es la rama de las ciencias sociales que estudia la toma de decisiones estratégicas. Un juego es una situación de interdependencia estratégica, es decir, el resultado de tus decisiones (tus estrategias) depende de lo que elija el otro o los otros jugadores que también actúan con un propósito. En determinados juegos, los intereses de los jugadores pueden estar en estricto conflicto; lo que una persona gana es siempre lo que pierde la otra (juegos de suma cero, como el tenis o el póker). Pero, generalmente, existen algunos intereses comunes así como algunos en conflicto, y puede haber combinaciones de estrategias que sean mutuamente beneficiosas o mutuamente perjudiciales.

Por tanto, en un juego:

  • Hay un conjunto de jugadores, que como mínimo debe ser 2;
  • Cada jugador debe poder elegir (decidir), entre varias opciones (estrategias) distintas;
  • Las consecuencias de cada decisión tienen un impacto, que además es medible, en el otro u otros jugadores. Ese impacto cuantificable depende tanto de la decisión propia como de las decisiones que hayan tomado los demás.

Un juego puede tener tantos resultados como combinaciones de estrategias posibles.

Abstrayendo esto del mundo matemático y trasladándolo a nuestras vidas cotidianas, vemos que la teoría de juegos y el comportamiento estratégico nos rodean constantemente. Desarrollamos estrategias en la empresa, en nuestra casa y en nuestras relaciones sociales. Los abogados diseñan estrategias para defender a sus clientes, los empresarios piensan estratégicamente para hacer crecer sus empresas, los entrenadores inculcan estrategias a sus jugadores para ganar partidos y los padres ejercen como estrategas para que sus hijos se porten bien. En definitiva, la mayor parte de nuestra vida es un juego de estrategia.

Como ya imaginarán, lo óptimo para tomar una decisión es conocer qué van a hacer nuestros adversarios, y actuar en consecuencia. Para ello, y si no disponemos de esta información, vamos a introducir una serie de conceptos que nos ayudarán a adivinar las estrategias del resto de jugadores:

  • Estrategia dominante: es una estrategia que es la mejor en determinadas circunstancias y en ningún caso es peor que las demás. Por lo general, un jugador tiene una estrategia dominante cuando puede escoger una acción que supera a todas las demás posibilidades de este jugador, independientemente de lo que hagan el resto de jugadores. Si usted tiene una estrategia dominante, úsela y sepa que su rival también usará su estrategia dominante. Por ejemplo: Lionel Messi. Guardiola conocía la teoría de juegos y sabía que de entre todas las opciones posibles, debía basar el juego de sus pupilos en potenciar a Messi. El argentino era la estrategia dominante.
  • Estrategia dominada: se dice que una estrategia está estrictamente dominada para un jugador si existe otra estrategia que conduce a mejores resultados cualesquiera que sean las estrategias seguidas por los demás jugadores. Si usted tiene una estrategia dominada, ignórela y sepa que su adversario también ignorará la suya. Por ejemplo: imagine que según un estudio de mercado, el 45% de los pasajeros de un posible vuelo Madrid – Ibiza prefiere volar por la tarde, el 45% por la noche y el 10% por la mañana; y que sólo Iberia y Vueling realizan este trayecto. Si ambos eligen el mismo horario, se repartirán el mercado, por lo que si eligen la tarde, o la noche, transportarán al 22,5% de los pasajeros en el peor caso, siendo el número de pasajeros mayor que el 10% (o el 5% si ambas eligen la mañana) que supondría elegir la mañana. Independientemente de lo que haga la otra aerolínea, es mejor elegir tarde o noche, por lo que la mañana es la estrategia dominada.

Gracias a estos dos conceptos, podemos dar un gran paso a la hora de intentar adivinar la estrategia rival. Sabemos que si nuestro adversario tiene una estrategia dominante, la usará. Si no la tiene, pero tiene una estrategia dominada, sabremos que nuestro rival no la utilizará, por lo que habremos reducido el juego. Podemos determinar el resultado de un juego reduciéndolo en base a ignorar estrategias dominadas y considerar estrategias dominantes.

Pero, ¿qué sucede si no podemos reducirlo dado que nos encontramos con estrategias que no son ni dominantes ni dominadas? Sí. Lo han adivinado. Aquí aparece el señor John Forbes Nash. En este caso, debemos buscar un equilibrio.

El equilibrio de Nash

El equilibrio de Nash es un estado estable del juego en el cual ningún participante puede ganar por un cambio de estrategia cuando los demás participantes permanezcan sin cambios. El equilibrio de Nash es la combinación de estrategias en la que la decisión de cada jugador es la mejor respuesta a la del otro. Y por lo general, si encontramos un equilibrio de Nash, debemos pensar que el juego finalizará de esta manera y el resultado será la solución de equilibrio.

El ejemplo que mejor explica estos conceptos es el famoso Dilema del prisionero:

La policía arresta a dos sospechosos. No hay pruebas suficientes para condenarlos y, tras haberlos separado, los visita a cada uno y les ofrece el mismo trato. Si uno confiesa y su cómplice no, el cómplice será condenado a la pena total, 10 años, y el primero será liberado. Si uno calla y el cómplice confiesa, el primero recibirá esa pena y será el cómplice quien salga libre. Si ambos confiesan, ambos serán condenados a 6 años. Si ambos lo niegan, todo lo que podrán hacer será encerrarlos durante un año por un cargo menor.

Como prisioneros tienen dos opciones: cooperar con su cómplice y permanecer callado, o traicionar a su cómplice y confesar. El resultado de cada elección depende de la elección del cómplice. Por desgracia, uno no conoce qué ha elegido hacer el otro.

La siguiente matriz representa los posibles resultados del juego:

matriz_pagos_nashSi uno espera que el cómplice escoja cooperar con él y permanecer en silencio, la opción óptima para el primero sería confesar, lo que significaría que sería liberado inmediatamente, mientras el cómplice tendrá que cumplir una condena de 10 años (0, 10). Si espera que su cómplice decida confesar, la mejor opción es confesar también, ya que al menos no recibirá la condena completa de 10 años, y sólo tendrá que esperar 6, al igual que el cómplice (6, 6). Y, sin embargo, si ambos decidiesen cooperar y permanecer en silencio, serían liberados en sólo 1 año (1, 1).

Viendo los resultados posibles, la solución más beneficiosa para los 2 sería ponerse de acuerdo para cooperar, mantener el silencio y no traicionar al cómplice pero, ¿es posible alcanzar este resultado a sabiendas del claro incentivo que supone para cada uno confesar mientras el otro calla? Aún teniendo la oportunidad de hablar y llegar al acuerdo de mantener el silencio, ¿tendrían la suficiente credibilidad como para conseguir que el otro callase?

Este resultado es un equilibrio inestable: si el adversario permanece callado, sin variar su estrategia, es más beneficioso para uno confesar y salir liberado. En este caso, el juego cooperativo en el que los 2 callan conduce a un resultado inestable.

El equilibrio estable, o equilibrio de Nash, se produce con el resultado en el que ambos confiesan, ya que si el adversario permanece sin cambiar su estrategia y confiesa, el cambio de estrategia a permanecer callado nos lleva a un resultado menos beneficioso. Por lo tanto, y según la teoría de juegos, ambos confesarán y cumplirán 6 años de condena. El juego no cooperativo en el que ambos usan su estrategia dominante nos conduce a un resultado estable, el cual, y si ambos jugadores son racionales, sucederá.

El dilema del Joker

Pero, ¿esto siempre sucede así? ¿El Equilibrio de Nash es el resultado que dominará los juegos en los que se produzca? El Joker nos puede ayudar con la respuesta.

En una de las escenas de la película El Caballero Oscuro, el Joker propone una variante del Dilema del prisionero, a lo bestia. El villano más famoso del cine, para intentar demostrar que todos tenemos un ser malvado en nuestro interior, ha llenado dos ferrys de explosivos; en uno de ellos viajan civiles de la ciudad de Gotham y en el otro se encuentran criminales camino de la prisión. El juego, o experimento sociológico, que propone el Joker es el siguiente: en cada barco está el detonador que hará explotar las bombas del barco contrario. Si un barco detona la carga del otro, se salva. Si ambos deciden no detonar, al cabo de 30 minutos será el propio Joker quien haga volar por los aires los dos ferrys. Nadie puede abandonar el barco.

¿Cuál es la estrategia dominante de cada barco? ¿Dónde se encuentra el Equilibrio de Nash? Atendiendo a lo explicado y analizando el problema según la teoría de juegos, ambos detonarán el barco opuesto para salvarse.

Para evitar spoilers, no desvelaré el resultado en la película, a cambio de lanzarles las siguientes preguntas: En nuestra vida personal y en los negocios, ¿debemos actuar siempre con racionalidad sean cuales sean las consecuencias de nuestras decisiones? ¿O quizá debemos renunciar al máximo beneficio propio posible, evitando el Equilibrio de Nash a cambio de hacer lo correcto?

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Javier Montejano Domínguez

Javier es Ingeniero Aeronáutico por la Universidad Politécnica de Madrid y ha participado como ingeniero de cálculo estructural en proyectos tales como el A350 de Airbus o el KC390 de Embraer. Actualmente trabaja para GCE Consulting como consultor de procesos de compra implementando avanzados modelos de gestión de compras en diversas empresas españolas.

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