Sixteen Rectangles

[Etreus]

Muy buenas!

Propongo un nuevo tema en el que colguemos algunos problemas interesantes que vayamos encontrando del GMAT. Éste por ejemplo lo he tomado del desafío de la semana de Manhattan (aún no se sabe la solución).

Creo que es un buen ejemplo de cómo se formulan algunas preguntas en el GMAT: se mezclan distintos conceptos (aquí geometría y probabilidad) y parecen más laboriosos de resolver de lo que en realidad son. Por lo que he podido ver hasta ahora, me están siendo muy útiles 2 consejos: 1) hacer esquemas de los planteamientos, además de obviamente en problemas de geometría, resultan muy prácticos con cuestiones sobre conjuntos, probabilidad, etc; y 2) ser conscientes de que casi todos los problemas pueden resolverse en 2 minutos, así que si vemos que estamos tardando demasiado en resoverlo, puede ser que hayamos tomado una ruta equivocada.

From Manhattan
This Week's Problem: "Sixteen Rectangles"
Sixteen rectangles are formed by choosing all possible combinations of integer length l and integer width w such that 1 ≤ l ≤ 4 and 1 ≤ w ≤ 4. The probability that a rectangle chosen at random from this set of rectangles has perimeter p and area a such that both 10 ≤ p ≤ 12 and 4 ≤ a ≤ 8 is

(A) 9/256

(B) 49/256

(C) 3/8

(D) 7/16

(E) 7/8

Un saludo!


Etreus

respuesta: show

(C) 3/8

[J.R.Perronet]

(C) 3/8

No tengo muy claro como es el GMAT, pero si fuera un probema del GRE el asunto estaría clarísimo: Todos los problemas de probabilidad discreta como este se resuelven por fuerza bruta.
Las operaciones a hacer son muy fáciles (sumas y multiplicaciones de dos números), así que lo más facil sería plantearse una tabla con las 16 combinaciones de L y W y escribir al lado los valores del perímetro y del área (se calculan cagando leches, casi se tarda más en dibujar la cuadrícula). Luego se cuenta el número de casos que cumplen con el enunciado (6) y se dividen por el número total de casos (16). 6/16 = 3/8.

Según mi opinión, es mucho más fácil entrenarse a calcular operaciones fáciles sin equivocarse que pensar mucho e ingeniosamente y terminar equivocándose.

Un saludo.

[rid]

Etreus, gran iniciativa! a ver si los que estáis preparando GRE/GMAT ponéis problemas y entre todos vamos resolviéndolos. Hay gente que resuelve los problemas de forma totalmente distinta a otros, por lo que se puede aprender mucho. Cuando pongáis/pongamos problemas poned siempre la source (como has hecho tu) para que luego no nos vengan a protestar MGMAT o quien sea.

Estoy de acuerdo con J.R.Perronet que este problema lo mejor es fuerza bruta sin necesidad de usar combinaciones. En muchos otros no lo haría así.

Rectángulos totales: 4*4 = 16

Rectángulos posibles según las condiciones que dan:
L=1, W=4 . y el perímetro sería 1+1+4+4 = 10, y el área 1*4 = 4
L=2 W=3 , y el perímetro sería 10, y el área 6
L=2 W=4, y el perímetro sería 12, y el área 8
L=3 W=3, y el perímetro sería 12, pero el área sería 9 luego no vale
Todos los demás rectángulos no cumplen

Luego hay que contar doble las tres primeras (porque podemos intercambiar W y L), lo que darían otros 3 rectángulos.

Por lo tanto: 6 rectángulos posibles de 16. Probabilidad 6/16 = 3/8 solución C. Coincido con JRP :)

[Etreus]

Muy buenas!

Si os parece os comento cómo lo resolví yo. Varía en pequeños matices de las soluciones de rid y Perronet, pero creo que puede aportar algo nuevo. Sobre todo, y es por eso que lo adelanté en la presentación del problema, hago hincapié en los esquemas y el tiempo. Creo que puede salir un poquitín más rápido, y sobre todo, con menos posibilidad de equivocarse utilizando un simple esquema.

1) Nos preguntan por rectángulos que cumplan 3 condiciones:
-----------> a) ancho y largo pueden ser sólo los valores {1,2,3 ó 4}
-----------> b) área entre 4 y 8 incluidos
-----------> c) perímetro entre 10 y 12 incluidos

2) todos los posibles rectángulos se pueden dibujar en con una malla de 5 líneas horizontales y 5 verticales. Los rectángulos posibles son las intersecciones (quitando la primera línea horizontal y la primera vertical, pues implican que ancho o largo son 0): 16.

3) para mí la condición más fácil es el área. El área es un producto de 2 números enteros, con lo cuál las posibilidades se restringen a números NO primos {4,6,8}. Los pares de números que cumplen con ello son fáciles de obtener {(1,4); (2,2); (2,3); (2,4)} mientras los marcamos (con un circulito por ejemplo) sobre nuestro esquema (no olvidéis los inversos!!).

4) teniendo 8 posibilidades y con el dibujo hecho es fácil marcar sobre ellos cuáles cumplen con el perímetro dado: marcamos sobre los círculos con una cruz por ejemplo: resultando 6.

5) resultado del problema 6/16 = 3/8 (opción C).

No sé, ahora al escribirlo queda más largo y farragosillo, pero creo que se ahorran algunas cuentas haciéndose uno mismo un pequeño esquema que ayuda a no equivocarnos en los cálculos y a tener el problema siempre delante de nosotros. Pese a que la explicación es un poco más larga, son operaciones inmediatas y os aseguro que se tarda menos de un minuto en sacarlo. ¿Qué os parece? (Dadme caña si en vez de simplificarlo lo he complicado demasiado, eh? )

Saludos

Etreus