Three points on a circumference - PS

[Etreus]

De "beatthegmat", que a su vez lo había sacado de MGMAT (el problema de la semana):

Three points are chosen independently an at random on the circumference of a circle with radius r. What is the approximate probability that none of the three points lies more than a straight-line distance of r away from any other of the three points?

(A) 1/9
(B) 1/12
(C) 1/18
(D) 1/24
(E) 1/27

Es que me obligáis a ponerlos complicadillos! :P

[rid]

respuesta: show

Hay que colocar puntos A, B, C.

Punto A
Este punto da igual y se puede poner donde se quiera, Prob = 1.

Punto B
Este punto sólo puede estar a una distancia "R" de A, luego está o por un lado o por el otro dentro de la circunferencia. Aquí yo creo que hay que dibujarse un círculo y se ve bastante bien.

Se dibuja un arco por cada lado del punto A, de longitud R, que forma dos triángulos equiláteros de lados R con el centro del círculo. Son equiláteros con el radio luego cada ángulo mide 60º.

Desde el centro del círculo, el sector donde puede estar B mide 120º, que es \frac{1}{3}[/m]de la circunferencia. Luego la probabilidad que B caiga en esa zona es Probabilidad = \frac{1}{3}[/m]

Punto C

Aquí no se muy bien como se hace.
Si el punto B estuviera justo donde el punto A, entonces C tendría que caer en el mismo sector que anters, y la probablidad sería otra vez \frac{1}{3}[/m]. Luego la probabilidad sería 1*\frac{1}{3}*\frac{1}{3}[/m]
Pero si estuviera en un extremo del sector, es decir, a distancia R de A, entonces el punto C debería caer entre A y B. Este sector es la mitad que el anterior, luego de 60ª, que es un \frac{1}{6}[/m]. Luego 1*\frac{1}{3}*\frac{1}{6}[/m]

Este problema no parece típico del GMAT. Yo creo que o lo he entendido mal o está mal.

[Etreus]

Tienes toda la razón! Lo siento! Eso me pasa por ponerlo sin resolverlo primero!

Yo al principio me he vuelto loco porque creía que la distancia "r" era sobre la circunferencia. He tenido que utlizar probabilidad continua en 2 variables y me quedaba todo en función de "pi". Cuando me he dado cuenta de que iba mal lo he dejado. Me daba sobre 3/400 o algo así.

Ahora si puedo lo intento de nuevo.

Saludos.

[Etreus]

respuesta: show

Ok. 1/9.

Basándome en la parte anterior de rid:

Con un esquema es mucho más fácil, pero intento explicarlo. Queda por saber la probabilidad de que los puntos B y C (que tienen que estar en 240/360 = 4/6 de circunferencia) disten "r". Montamos un par de ejes función de las posiciones de B y C. El área de todas las posiciones favorables / área de las posiciones posibles es esa probabilidad. Si consideramos la longitud total de la circunferencia = 1, el segundo factor es 1. El primer factor es el área de un triángulo con vértices (1/6,2/6), (5/6,2/6) y (5/6,4/6). Sale 1/9. . Hay que tener en cuenta lo que ha demostrado antes rid: cuando divides una circunferencia en 6 partes los puntos equidistan entre sí el radio de la circunferencia (o lo que es lo mismo, el hexágono inscrito en una circunferencia tiene lado "r"). No sé si queda muy claro sin el dibujo. De todas formas ahora después pondré la OA.

[Etreus]

Aviso que mi respuesta no es la OA y puede que esté mal! Para quien quiera intentarlo! Quizá jlomalone, Eterno Aspirante o lox... ;)

[rid]

respuesta: show

lo mío está bien! xD el problema está mal o no es del GMAT. La respuesta está entre una o la otra de las soluciones que he puesto, 1/12 es la única que cuadra entre 1/9 y 1/18

[Etreus]

respuesta: show

rid, un problema de probabilidad no puede tener infinitas soluciones ;) .

[rid]

respuesta: show

jaja si está mal redactado sí :P, tienes infinitas posiciones donde poner B... no puedes decir: lo pongo en un extremo y calculo la prob, o lo pongo en el medio y calculo la prob....
a ver si Lox viene y nos hace un dibujo de los suyos

[Etreus]

Es probabilidad continua en 2 variables. Es curiosa, por ejemplo: "Rosa y Carlos quedan entre las 8 y las 9, ¿cuál es la probabilidad de que Rosa tenga que esperar a Carlos más de media hora?" Típico problema, que se puede resolver gráficamente como he intentado yo antes (sin conseguirlo! ) y te da una probabilidad concreta. Sin embargo, y aunque venga propuesto como desafío GMAT de la semana, me parece que este tipo de problemas no los abarca el GMAT (al menos no los enfoca así).

Saludos.

Etreus

[jlomalone]

Mmmm este me gusta, es jodido jeje. no se que os parecera mi approach

respuesta: show

La verdad es que sin ver vuestras soluciones he procedido como rid, hasta llegar a que la probabilidad de que los tres esten en menos de una distancia r me da
1/3 * (120-µ)/360 siendo µ el angulo del segundo punto respecto al primero, que yo lo he puesto en 0. Y claro, pues si µ es 60 la probabilidad es 1/18 y si µ es 0 pues la probabilidad es 1/9. Peeeero, por definicion de probabilidad continua la probabilidad de que el segundo este justo en 0 o en 60 o en 44.325653 es CERO. Es decir, para resolver el asunto habria sacar la funcion densidad e integrar, por lo que para el GMAT suena rarrrro.

Asi que he intentado otro approach, calcular la probabilidad de que alguno de los tres este a mas distancia y restarselo a uno.
el segundo punto puede estar dentro o fuera de la distancia; con un 2/3 de estar fuera. guardamos esos 2/3

supongamos que esta dentro (1/3) el tercer punto puede estar dentro o fuera del rango con respecto al segundo, con 1/3 y 2/3 respectivamente
Guardamos la probabilidad de que el tercero este fuera con respecto al segundo cuando este esta dentro respecto al primero (1/3*2/3)

Si suponemos que el tercero esta dentro del rango respecto al segundo (1/3*1/3) puede estar dentro o fuera respecto al primero 1/3 o 2/3
Es decir, que estando el segundo en rango con el primero y el tercero con el segundo, el tercero puede estar fuera de rango con el primero con un 1/3*1/3*2/3

Si sumamos 2/3 + 1/3*2/3 + 1/3*1/3*2/3 tenemos 26/27 probabilidades de que alguno este fuera de alance de otro de los puntos

Luego mi respuesta correcta seria 1/27 . se ve mejor haciendo un arbolito de probabilidades

[rid]

respuesta: show

probabilidad continua? no pensaréis que me voy a acordar de cosas de COU o de primero de carrera que no entran en el GMAT... Chavales que ya tengo mis añitos

[jlomalone]

jajaja
nada lo unico que quiere decir es que si tiras una flecha a la pared la probabilidad de que caiga en un punto exacto es cero porque hay infinitos puntos en la pared. para calcular la probabilidad hay que dar un intervalo, en ese caso un area de la pared.

la verdad, no se si me convence mi propia respuesta...

[jlomalone]

de hecho,

respuesta: show

Gne, no me gusta lo de antes porque el metodo omite las zonas de superposicion

Como no tendria tiempo de hacer integrales; yo en el examen haria un guess con la media entre 1/9 y 1/18 que es 1/12.

mi respuesta seria 1/12

cual es la OA???

jodida circunferencia...


P= 2/120*integral(1/3*(120-x)/360*dx) entre 0 y 60------------->1/12

[rid]

buena esa, seguramente es la última vez en tu vida que usas una integral ;)