Couples in a row

Practica resolviendo problemas de GMAT, GRE, y otros tests
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Etreus
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Couples in a row

Mensaje por Etreus » 02 Abr 2011, 00:32

Lo mejor del problema es ver cómo lo resuelve cada uno. Lo he tomado de GMATCLUB (que a la vez lo había tomado de MGMAT, que seguramente tampoco se lo había inventado, pero ahí me quedé... :D )

Two couples and one single person are seated at random in a row of five chairs. What is the probability that neither of the couples sits together in adjacent chairs?

Choices are 1/5, 1/4 , 3/8, 2/5 and 1/2
Saludos.

Etreus

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Re: Couples in a row

Mensaje por rid » 07 Abr 2011, 04:20

What is the probability that neither of the couples sits together in adjacent chairs?
Te refieres a que los miembros de cada pareja no estén pegados? o a que la pareja, como bloque, no esté pegada a la otra (i.e. el otro tio en medio)

Supongo que será lo primero... tiene pinta de ser muy jodido, lets go :twisted:
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Re: Couples in a row

Mensaje por rid » 07 Abr 2011, 05:02

Vaya infierno de problema, las he pasado canutas :lol:. Esto si te sale en el examen real es que estás por Q50-Q51 yo creo, sobre todo porque resolver esto en 2 minutos... difícil.
respuesta: show
No sé si será correcto. Seguramente se puede hacer de otra manera más "clean" .

Llamo AB a la primera pareja, CD a la segunda, y X al que va solo.

1) Calculo todas las combinaciones posibles, hay 5 personas luego:

2) Calculo en cuántas combinaciones A está separado de B:

La fila es _ _ _ _ _

Si A_ _ _ _ entonces B tiene 3 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego
Si _ A _ _ _ entonces B tiene 2 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego
Si _ _A _ _ entonces B tiene 2 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego
Si _ _ _A _ entonces B tiene 2 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego
Si _ _ _ _A entonces B tiene 3 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego

Esto da:

3) Resto de esto todas las que CD van juntas:
Hay que quitar muchas de las combinaciones anteriores, todas las que CD van juntas.

Casos posibles:
- Si A_ B _ _ entonces
  • ACB_ _ entonces D podría ir en 2 posiciones, luego 2
  • A _ BC _ entonces D podría ir en 1 posición, luego 1
  • A _ B_C entonces D podría ir en 1 posición, luego 1
Esto lo multiplicamos por 2, las permutaciones entre CD, porque donde iba C puede ir D.
Luego restamos

- Si A_ _ B _ entonces: de la misma manera que lo anterior, y sale que restamos también 8

- Si A_ _ _ B _ entonces: de la misma manera que lo anterior, y sale que restamos también 8

En total restamos:

Recapitulando, resultado final

Combinaciones totales:
Combinaciones que cumplen la condición:

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Re: Couples in a row

Mensaje por jsanchezperalta » 07 Abr 2011, 13:49

¿una pregunta Rid, como sabias que debias utilizar combinatorias (es decir, sin importarte el orden) en vez de permutaciones (importandote el orden)? Es que si utilizas permutaciones, sabes que el resultado se incrementaria en 2!
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Re: Couples in a row

Mensaje por rid » 07 Abr 2011, 13:56

jsanchezperalta escribió:¿una pregunta Rid, como sabias que debias utilizar combinatorias (es decir, sin importarte el orden) en vez de permutaciones (importandote el orden)? Es que si utilizas permutaciones, sabes que el resultado se incrementaria en 2!
la verdad es que no me sé como se llaman bien las cosas, los nombres que se le dan a los tipos de combinatoría, si combinaciones o permutaciones, etc. Quizá lo he expresado mal.

En este caso sí que importa el orden.
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Re: Couples in a row

Mensaje por jsanchezperalta » 07 Abr 2011, 14:15

A mi me saldria diferente, tampoco se si esta bien.
respuesta: show
Llamo AB a la primera pareja, CD a la segunda, y X al que va solo.

1) Calculo todas las combinaciones posibles, hay 5 personas luego: 5!

2) Calculo en cuántas permutaciones A está separado de B:

La fila es _ _ _ _ _

Si A_ _ _ _ entonces B tiene 3 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 3*3!
Si _ A _ _ _ entonces B tiene 2 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 2*3!
Si _ _A _ _ entonces B tiene 2 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 2*3!
Si _ _ _A _ entonces B tiene 2 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 2*3!
Si _ _ _ _A entonces B tiene 3 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 3*3!


Esto da: (3*3! + 2*3! + 2*3! + 2*3! + 3*3!) = 3!(3+2+2+2+3) = 12*3! = 72

3) Luego resto de esto todas las que CD van juntas:[/b]
Hay que quitar muchas de las combinaciones anteriores, todas las que CD van juntas.

Casos posibles:
Si A_ B _ _ entonces
[*] ACB_ _ entonces D podría ir en 2 posiciones, luego 2
[*] A _ BC _ entonces D podría ir en 1 posición, luego 1
[*] A _ B_C entonces D podría ir en 1 posición, luego 1
Esto lo multiplicamos por 2, las permutaciones entre CD, porque donde iba C puede ir D. Luego restamos 2*(2+1+1) = 8

Si A_ _B _ entonces
[*] ACB_ _ entonces D podría ir en 2 posiciones, luego 2
[*] A _ BC _ entonces D podría ir en 1 posición, luego 1
[*] A _ B_C entonces D podría ir en 1 posición, luego 1
Esto lo multiplicamos por 2, las permutaciones entre CD, porque donde iba C puede ir D. Luego restamos 2*(2+1+1) = 8

- Si A_ _ B _ entonces: de la misma manera que lo anterior, y sale que restamos también 8

- Si A_ _ _ B entonces: de la misma manera que lo anterior, y sale que restamos también 8

En total restamos: 8 + 8 + 8 = 24*2(porque donde esta A puede estar B)

Recapitulando, resultado final

Combinaciones totales: 5! = 120
Combinaciones que cumplen la condición: 72 – 48 = 24

Probabilidad = 24/120 = 1/5
Última edición por jsanchezperalta el 07 Abr 2011, 16:10, editado 1 vez en total.
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Re: Couples in a row

Mensaje por rid » 07 Abr 2011, 14:27

Según veo, partiendo de mi solución, has cambiado
jsanchezperalta escribió:
En total restamos: 8 + 8 + 8 = 24*2(porque donde esta A puede estar B)
Es decir, multiplicas todo por 2, por las permutaciones entre A y B.

Pero si te fijas, ya las has contado. Citándome:
Si A_ _ _ _ entonces B tiene 3 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 3*3!
Si _ A _ _ _ entonces B tiene 2 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 2*3!
Si _ _A _ _ entonces B tiene 2 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 2*3!
Si _ _ _A _ entonces B tiene 2 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 2*3!
Si _ _ _ _A entonces B tiene 3 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 3*3!
Si coges el último caso como ejemplo:
Si _ _ _ _A entonces B tiene 3 posiciones donde ir, y los otros 3 se permutan, luego 3*3!
Esta fórmula ya incluye todas las de la B:
B_ _ _ A
_B _ _ A
_ _ B _A

No se si me explico. A ver si lo resuelve otro así o de diferente manera y a ver qué le sale

El problema es muy interesante.
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Re: Couples in a row

Mensaje por jsanchezperalta » 07 Abr 2011, 15:20

Si estoy de acuerdo esa formula incluye todas las de la B, por eso coincidimos en el numero de permutaciones en las que esta A y B separados.(o sea 3!*12), simplemente que cuando restamos los casos en los que CD van juntos tenemos que considerar tambien las posiciones de A y B. con lo que seria 24*2 y el resultado seria (72-48)/120=1/5

Como dirian los ingleses I DON'T KNOW IF I MAKE MYSELF UNDERSTOOD!!!
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Re: Couples in a row

Mensaje por Etreus » 07 Abr 2011, 15:37

Creo que lo mejor para este tipo de ejercicios es plantearlos de manera que las restricciones impliquen nuevos conjuntos. Así, si los casos posibles son P(5), los casos en que una pareja queda sentada junta se puede tratar como "maneras de sentar juntos a 4 elementos" x "maneras de colocar internamente la pareja" => P(4) * P (2).

Así, yo plantearía el problema como el inverso:

Prob = 1 - \frac{(P(3)*P(2)*P(2))+(P(4)*P(2)-P(3)*P(2)*P(2))+(P(4)*P(2)-P(3)*P(2)*P(2))}{P(5)} = 1 - \frac{(6*2*2)+(24*2-6*2*2)+(24*2-6*2*2)}{120} = 1 - \frac{(24)+(24)+(24)}{120} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}[/m]


:oops: Perdón! Antes había olvidado quitarle los casos en que se repiten una pareja sentada y dos parejas sentadas...

Saludos!

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Re: Couples in a row

Mensaje por lox » 07 Abr 2011, 17:42

Buenas, yo lo he resuelto separando en las posibles posiciones del soltero.

Casos posibles: 5!

Y ahora he ido fijando las posiciones donde se puede colocar el soltero y las colocaciones favorables para cada caso

Si el soltero está en uno de los extremos, entonces las parejas se tienen q alternar, pudiendose alternar de 8 formas posibles para cada extremo donde se coloque el soltero, por lo tanto tengo 16 casos favorables.

Si el soltero está en la 2ª silla, me ocurre lo mismo, una vez fijado el de la esquina, los otros tres se tienen q alternar, asi que me salen 2 casos favorables por cada uno de los emparejados q puedo fijar, osea 8 en total, multiplicado por 2 por el caso en el q el soltero se siente en la 4ª silla, teniendo otros 16 casos favorables.

Si el soltero está en el centro, fijando el primer emparejado en la primera silla, su otro emparejado se puede colocar en uno de las dos sillas del otro lado, teniendo dos casos favorables, multiplicado por 2 por las posibles permutaciones de la otra pareja, todo ello multiplicado por 2 por q la pareja fijada se intercambien entre ellos, y de nuevo multiplicado por 2 por el caso en el que la pareja fijada sea la otra. Finalmente me quedan 2*2*2*2 casos, 16.

Sumando los 3 casos, tengo 48 casos favorables en total, y dividiendo por los casos posibles, 5!, me queda la solucion final, 2/5.

Espero que se entienda bien!

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Re: Couples in a row

Mensaje por rid » 07 Abr 2011, 18:01

Etreus escribió:Creo que lo mejor para este tipo de ejercicios es plantearlos de manera que las restricciones impliquen nuevos conjuntos. Así, si los casos posibles son P(5), los casos en que una pareja queda sentada junta se puede tratar como "maneras de sentar juntos a 4 elementos" x "maneras de colocar internamente la pareja" => P(4) * P (2).

Así, yo plantearía el problema como el inverso:

Prob = 1 - \frac{P(3)*P(2)*P(2)+P(4)*P(2)+P(4)*P(2)}{P(5)}[/m]


Saludos!

Etreus
muy bonito pero qué te da al final? :D
y la respuesta oficial?

Me alegro que lox le haya dado lo mismo, haciéndolo de manera distinta.
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Re: Couples in a row

Mensaje por Etreus » 07 Abr 2011, 18:33

Ya te has dado cuenta de que está mal, no? :D

Perdón! con las prisas y con eso de que aún estoy practicando con las formulillas olvidé incluir la intersección. Lo edito para que no haya confusiones, ok? Lo digo porque como he sido yo quien ha propuesto el problema...

Saludos.

Etreus.

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